Примеры решения задач разной сложности на нахождение периметра и площади

a — длина
b — ширина
P — периметр
S — площадь 
квадрат — определение
P = a + a + a + a; P = a · 4 — периметр квадрата
S = a · a; S = a² — площадь квадрата
прямоугольникопределение
P = a + b + a + b; P = 2a + 2b; P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника
S = a ·  b — площадь прямоугольника

 

Задачи на нахождение периметра и площади

 

Найди периметр квадрата со стороной 8 см.
Решение:
8 · 4 = 32 (см)
Ответ: периметр квадрата 32 см.
Найди периметр квадрата со стороной 16 см.
Решение:
16 · 4 = 64 (см)
Ответ: периметр квадрата 64 см.
Периметр квадрата 16 см. Найди его сторону.
Решение:
16 : 4 = 4 (см)
Ответ: сторона квадрата 4 см.
Найди периметр прямоугольника со сторонами 9 и 6 см.
Решение:
(9 + 6) · 2 = 30 (см)
Ответ: периметр прямоугольника 30 см.
Найди периметр прямоугольника со сторонами 7 и 8 см.
Решение:
(7 + 8) · 2 = 30 (см)
Ответ: периметр прямоугольника 30 см.
Найди длину прямоугольника, если его ширина 7 см, а периметр равен 40 см.
Решение:
В. I
7 + 7 = 14 (см)
40 - 14 = 26 (см)
26 : 2 = 13 (см)
Ответ: длина прямоугольника 13 см.
или
В. II
составим уравнение:
((а + 7) · 2 = 40
2а + 14 = 40
2а = 40 - 14
2а = 26
а = 26 : 2
а = 13
Ответ: длина прямоугольника 13 см.
Найди ширину прямоугольника, если его длина 10 см, а периметр составляет 30 см.
Решение:
В. I
10 + 10 = 20
30 - 20 = 10
10 : 2 = 5
Ответ: ширина прямоугольника 5 см.
или
В. II
составим уравнение:
(10 + b) · 2 = 30
20 + 2b = 30
2b = 30 - 20
2b = 10
b = 10 : 2
b = 5
Ответ: ширина прямоугольника 5 см.
Ширина прямоугольника 14 см. Длина на 5 см больше. Найди его периметр и площадь.
Решение:
14 + 5 = 19 (см)
(19 + 14) · 2 = 66 (см)
19 · 14 = 266 (см²)
Ответ: периметр прямоугольника 66 см; площадь прямоугольника 266 см².
Длина прямоугольника 7 см. Ширина на 3 см меньше. Найди его периметр и площадь.
Решение:
7 - 3 = 4 (см)
(7 + 4) · 2 = 22 (см)
7 · 4 = 28 (см²)
Ответ: периметр прямоугольника 22 см; площадь прямоугольника 28 см².
Периметр квадрата 24 см. Найди его площадь.
Решение:
24 : 4 = 6 (см)
6 · 6 = 36 (см²)
Ответ: площадь квадрата 36 см².
Периметр квадрата 36 см. Найди его площадь.
Решение:
36 : 4 = 9 (см)
9 · 9 = 81 (см²)
Ответ: площадь квадрата 81 см².
Ученику нужно было начертить прямоугольник со сторонами 5 см и 9 см, а он начертил его со сторонами 6 и 8 см.
На сколько см² он ошибся?
Решение:
5 · 9 = 45 (см²)
6 · 8 = 48 (см²)
48 - 45 = 3 (см²)
Ответ: он ошибся на 3 см².
Ученику нужно было начертить прямоугольник со сторонами 10 см и 8 см, а он начертил его со сторонами 8 см и 6.
На сколько см² он ошибся?
Решение:
10 · 8 = 80 (см²)
8 · 6 = 48 (см²)
80 - 48 = 32 (см²)
Ответ: он ошибся на 32 см².
Периметр прямоугольника 36 см. Длина его 4 см. Найди площадь прямоугольника.
Решение:
4 + 4 = 8 (см)
36 - 8 = 28 (см)
28 : 2 = 14 (см)
14 · 4 = 56 (см²)
Ответ: площадь прямоугольника 56 см².
Сторона квадрата 6 см. Найди ширину прямоугольника с таким же периметром и длиной 3 см.
Решение:
6 · 4 = 24 (см)
3 + 3 = 6 (см)
24 - 6 = 18 (см)
18 : 2 = 9 (см)
Ответ: ширина прямоугольника 9 см.
Сторона квадрата 18 см. Найди длину прямоугольника с таким же периметром и шириной 14 см.
Решение:
18 · 4 = 72 (см)
14 + 14 = 28 (см)
72 - 28 = 44 (см)
44 : 2 = 22 (см)
Ответ: длина прямоугольника 22 см.
Площадь прямоугольника 40 см². Ширина его 4 см.
Чему равен периметр прямоугольника?
Решение:
40 : 4 = 10 (см)
(10 + 4) · 2 = 28 (см)
Ответ: периметр прямоугольника 28 см.
Площадь прямоугольника 40 см². Длина его 8 см.
Чему равен периметр прямоугольника?
Решение:
40 : 8 = 5 (см)
(8 + 5) · 2 = 26 (см)
Ответ: периметр прямоугольника 26 см.
Ширина прямоугольника a = 15 см, длина b = 20 см .
Найди длину другого прямоугольника с той же площадью, если его ширина в 3 раза меньше ширины первого прямоугольника.
Решение:
в первом действии узнаём площадь по формуле  a · b = S
15 · 20 = 300 (см²) — S  одного и другого прямоугольника 
теперь ширину второго
15 : 3 = 5 (см) — ширина другого прямоугольника
и отвечаем на вопрос задачи применив формулу  S : a = b
300 : 5 = 60 (см)
Ответ: длина другого прямоугольника 60 см.
Длина прямоугольника b = 32 см. Ширина a = 4 см.
Найди длину другого прямоугольника с такой же площадью, если его ширина в 2 раза больше ширины первого прямоугольника.
Решение: 
узнаем площадь прямоугольников по формуле  a · b = S
32 · 4 = 128 (см²) — S  первого прямоугольника
теперь ширину второго прямоугольника
4 · 2 = 8 (см) — ширина другого прямоугольника
применив формулу  S : a = b узнаем длину другого
128 : 8 = 16 (см)
Ответ: длина другого прямоугольника 16 см.
Какой участок земли потребует большую ограду: прямоугольный размерами 32 м и 2 м или квадратный, имеющий ту же площадь?
Решение:
I. Прямоугольный участок 
32 · 2 = 64 (м²) — S прямоугольного участка = 64 (м²)  
(32 + 2) · 2 = 68 (см) — P прямоугольного участка = 68 (см)

II. Квадратный участок (имеющий площадь прямоугольного = 64 м²) 
Если  S квадрата = a · a,  тогда, из формулы, узна́ем сторону квадратного участка  S : a = a
(у квадрата все стороны равны, тогда  a · a = S —  таблицу умножения мы знаем, подберём значения  a  и заменим их —  8 · 8 = S  или  8 · 8 = 64  или  64 = 8 · 8   или  64 : 8 = 8) 
64 : 8 = 8 (м) — любая сторона квадратного участка = 8 (м)
8 · 4 = 32 (м) — периметр квадратного участка = 32 (м) 

III. P прям. - P квадр. = разница периметров
68 - 32 = 36 (м) — разница периметров
Ответ: потребует большую ограду прямоугольный на 36 м.
Какая комната потребует больше плинтуса: прямоугольная размерами 4 м и 9 м или квадратная, имеющая ту же площадь?
Решение:
(4 + 9) · 2 = 26 (м) — P периметр прямоугольной комнаты
4 · 9 = 36 (м²) — S площадь прямоугольной комнаты
(из условия задачи квадратная комната имеет ту же площадь 36 м², а из определения площади квадрата знаем, что все стороны равны a = a = a = a, смотрим таблицу умножения и видим 6 · 6 = 36, то есть любая из сторон a = 6
запишем (приведём) формулу площади квадрата  S = a · a  в форму нахождения её стороны   S : a = a )  
36 : 6 = 6 (м) — любая из сторон квадратной комнаты
6 · 4 = 24 (м) — P периметр квадратной комнаты
26 - 24 = 2 (м)
Ответ: потребует больше плинтуса прямоугольная на 2 м.

Куб

Ребро куба равно 2 сантиметров. Найти площадь всех граней куба.
Решение:
Куб — многогранник, поверхность которого состоит из шести одинаковых по площади квадратов.
У куба 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней (поверхностей).
Если S = a · a — площадь квадрата, тогда
S = (a · a) · 6 — площадь всех граней куба, из условия задачи a = 2, тогда S = 2 · 2 · 6
2 · 2 · 6 = 24 (см²)
Ответ: площадь всех граней куба равна 24 см²
Квадраты с вырезанными прямоугольниками

Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.
Для решения потребуются формулы:
S = a · a; S = a² — площадь квадрата (у квадрата все стороны равны) 
S = a · b — площадь прямоугольника (у прямоугольника противоположные стороны равны)
Далее всё очень просто:
Квадрат A.
S = a · a или a · a = S — формула площади квадрата, тогда 
8 · 8 = 64 — площадь квадрата
S = a · a или a · b = S — формула площади прямоугольника, тогда
4 · 1 = 4 — площадь вырезанного прямоугольника
из площади квадрата вычтем площадь вырезанного прямоугольника
64 - 4 = 60
Ответ: площадь получившейся фигуры равна 60
Квадрат B.
S = a · a или a · a = S — формула площади квадрата, тогда
7 · 7 = 49 — площадь квадрата
S = a · a или a · b = S — формула площади прямоугольника, тогда
4 · 2 = 8 — площадь вырезанного прямоугольника
из площади квадрата вычтем площадь прямоугольника
49 - 8 = 41
Ответ: площадь получившейся фигуры равна 41
Квадрат C.
S = a · a или a · a = S — формула площади квадрата, тогда
7 · 7 = 49 — площадь квадрата
S = a · a или a · b = S — формула площади прямоугольника, тогда
5 · 1 = 5 — площадь вырезанного прямоугольника
из площади квадрата вычтем площадь прямоугольника
49 - 5 = 44
Ответ: площадь получившейся фигуры равна 44

Площадь одной клетки равна 1см.
Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке A.
Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке B.
Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке C.
Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке D.
Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке E.

Определение:
Неправильный четырехугольник – фигура, у которой стороны не равны и не параллельны.
Неправильные четырехугольники A, B, C, D, EРешение:
разобьём неправильные четырехугольники A, B, D на два прямоугольных треугольника и прямоугольник, а неправильные четырехугольники C, E на два прямоугольных треугольника и квадрат.
Неправильные четырехугольники A, B, C, D, EПрименив формулы площади треугольника, квадрата и прямоугольника легко решим поставленную задачу
Фигура A
S = a ·  b — формула площади прямоугольника, тогда  
3 · 4 = 12 см² — площадь прямоугольника a 
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ ·1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника
½ ·2 · 4 = 4 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры A
12 + 2,5 + 4 = 18,5 см²
Ответ: площадь фигуры A 18,5 см²
Фигура B

S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда 
5 · 1 = 5 см² — площадь прямоугольника a 
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ ·6 · 5 = 15 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ ·1 · 1 = 0,5 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры B 
5 + 15 + 0,5 = 18,5 см²
Ответ: площадь фигуры B 20,5 см²
Фигура C

S = a · a; S = a²  — формула площади квадрата, тогда
5 · 5 = 25 см² — площадь квадрата a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 1 · 6 = 3 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры C
25 + 3 + 2,5 = 30,5 см²
Ответ: площадь фигуры C 30,5 см²
Фигура D
S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда
3 · 4 = 12 см² — площадь прямоугольника a 
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ ·1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ ·2 · 4 = 4 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры A
12 + 2,5 + 4 = 18,5 см²
Ответ: площадь фигуры A 18,5 см²
Фигура E

S = a · a; S = a² — формула площади квадрата, тогда
2 · 2 = 4 см² — площадь квадрата a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 3 · 4 = 6 см² — площадь прямоугольного треугольника  b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 2 · 2 = 2 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры E
4 + 6 + 2 = 12 см²
Ответ: площадь фигуры E 12 см²

Найдите площади и периметры фигурок. Сделайте вывод.
Прямоугольник, квадрат, неправильные многоугольники
Определение:
Периметр - сумма длин всех сторон фигуры выраженый в милиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т.д.

Площадь фигуры — геометрическое понятие, размер плоской фигуры выраженый в мм², см², дм², м² и т.д.

Пусть каждая из сторон клетки равна 1 см, тогда
применив формулу площади квадрата S = a · a получим площадь одной клетки 1 · 1 = 1 см²

Фигура A — прямоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура A имеет четыре стороны, тогда
1 + 4 + 1 + 4 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура B — квадрат состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура B имеет четыре стороны, тогда
2 + 2 + 2 + 2 = 8 см — периметр фигуры.

Фигура C — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура C имеет шесть сторон, тогда
3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура D — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура D имеет восемь сторон, тогда
1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура E — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура E имеет восемь сторон, тогда
1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 см — периметр фигуры.
Вывод:
Фигуры A, B, C, D, E имеют одинаковую площадь, но наименьший периметр имеет квадрат.
У разных по форме плоских фигур, с одинаковой площадью, наименьший периметр всегда имеет квадрат. 
JoomShaper
<