Задачи на логику

Примеры решения задач на логику по математике

Задача №1

В наборе 4 гири: 10 кг, 5 кг, 500 г, 100 г. Какова масса тыквы, арбуза и дыни в отдельности, если при взвешивании получены следующие результаты:
— на одной чаше тыква, арбуз и гиря в 500 г, на другой гири в 10 кг и 5 кг;
— на одной чаше дыня и тыква, на другой гиря в 10 кг;
— на одной чаше арбуз и дыня, на другой гири в 5 кг и 100 г.

Решение:

из задачи следует:

I. тыква + арбуз + гиря 500 г = гиря 10 кг + гиря 5 кг
тыква + арбуз = гиря 10 кг + гиря 5 кг - гиря 500 г
тыква + арбуз = 14 кг 500 г (общая масса тыквы и арбуза)

II. дыня + тыква = гиря 10 кг
дыня + тыква = 10 кг (общая масса дыни и тыквы)

III. арбуз + дыня = гиря 5 кг + гиря 100 г
арбуз + дыня = 5 кг 100 г (общая масса арбуза и дыни), т.е.

тыква + арбуз = 14 кг 500 г
тыква + дыня = 10 кг
арбуз + дыня = 5 кг 100 г

Так как неизвестное число можно обозначить любой буквой алфавита произведем эти действия. Тыкву обозначим буквой т, дыню обозначим буквой д, а арбуз обозначим буквой а. Тогда составленное нами уравнение будет выглядеть так:

т + а = 14 кг 500 г
т + д = 10 кг
а + д = 5 кг 100 г

складываем всё что в левой части равенств и складываем всё что в правой части равенств:

т + а + т + д + а + д = 14 кг 500 г + 10 кг + 5 кг 100 г, т.е.
т + т + а + а + д + д = 14 кг 500 г + 10 кг + 5 кг 100 г

продолжаем решать:

2т + 2а + 2д = 14 кг 500 г + 10 кг + 5 кг 100 г

выполнив сложение в правой части равенства получаем:

2т + 2а + 2д = 29 кг 600 г

Уменьшив в два раза левую и правую часть равенства получаем:

1т + 1а + 1д = 14 кг 800 г

При умножении числа на 1 или 1 на число получается то же самое число, т.е.

1т + 1а + 1д = 14 кг 800 г

получаем:

т + а + д = 14 кг 800 г, т.е.

тыква + арбуз + дыня = 14 кг 800 г (общая масса тыквы, арбуза и дыни)

отсюда следует:

Тыква: из общей массы тыквы, арбуза и дыни вычитаем общую массу арбуза и дыни
14 кг 800 г - 5 кг 100 г = 9 кг 700 г (масса тыквы)

Дыня: из общей массы тыквы, арбуза и дыни вычитаем общую массу тыквы и арбуза
14 кг 800 г - 14 кг 500 г = 300 г (масса дыни)

Арбуз: из общей массы тыквы, арбуза и дыни вычитаем общую массу дыни и тыквы
14 кг 800 г - 10 кг = 4 кг 800 г (масса арбуза)

Ответ: масса тыквы 9 кг 700 г, дыни 300 г, арбуза 4 кг 800 г.

Задача №2

У Лены было 1 м 25 см, а у Кати 80 см проволоки. Лена сделала 5 игрушек из проволоки, а Катя 2 такие же. После этого проволоки у них стало поровну. Сколько проволоки уходит на одну игрушку?

Решение:

Предположим что на изготовления одной игрушки требуется х сантиметров проволоки.
Лена сделала пять игрушек, значит она истратила 5х сантиметров проволоки.
Катя сделала две игрушки, значит она истратила 2х сантиметров проволоки.
Из условия задачи нам известно, что после изготовления игрушек, проволоки у них осталось поровну.
Для удобства решения переведём 1 м 25 см в сантиметры. В 1 метре 100 сантиметров, значит в 1 м 25 см = 125 см
Составим равенство.
125 - 5х= 80 - 2х
перенесём все известные в одну, а неизвестные в другую часть и произведём дейсвия в левой и правой части
125 - 80 = 5х - 2х
45 = 3х – разделим левую и правую часть на три и ответим на вопрос задачи 
15 = х

Ответ: на одну игрушку уходит 15 сантиметров проволоки.

Готфрид Вильгельм Лейбниц

философ, логик, математик, механик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед
Дата рождения: 1 июля 1646 г.
Место рождения: Лейпциг, Саксония, Священная Римская империя
Дата смерти: 14 ноября 1716 г. (70 лет)

Биография

Готфрид Вильгельм родился в семье профессора философии морали (этики) Лейпцигского университета Фридриха Лейбнюца и Катерины Шмукк, которая была дочерью выдающегося профессора юриспруденции. Отец Лейбница был сербо-лужицкого происхождения.

Отец Лейбница очень рано заметил гениальность своего сына и старался развить в нём любознательность, часто рассказывая ему маленькие эпизоды из священной и светской истории. Лейбницу не было и семи лет, когда он потерял отца; его отец умер, оставив после себя большую личную библиотеку.

Библиотека отца позволила Лейбницу изучить широкий спектр передовых философских и теологических работ, к которым он мог бы иметь доступ только в студенческие годы. В возрасте 12 лет Лейбниц был уже знатоком латыни; в возрасте 13 лет у него проявился поэтический талант, которого в нём никто не подозревал.

Лейбниц также увлекался Вергилием; до глубокой старости он помнил наизусть чуть ли не всю «Энеиду»; в старших классах его особенно отличал Якоб Томазий, однажды сказавший мальчику, что рано или поздно он приобретёт славное имя в научном мире. В четырнадцатилетнем возрасте Лейбниц также стал вдумываться в истинную задачу логики как классификации элементов человеческого мышления.

Лейбниц видел, что логика подразделяет простые понятия на известные разряды, так называемые предикаменты (на языке схоластики предикамент означал то же самое, что и категория), и его удивляло, почему таким же образом не подразделяют сложные понятия или даже суждения так, чтобы один член вытекал или выводился из другого. Готфрид придумал собственные разряды, которые он тоже называл предикаментами суждений, образующими содержание или материал умозаключений, подобно тому, как обыкновенные предикаменты образуют материал суждений; когда он высказал эту мысль своим учителям, они не ответили ему ничего положительного, а лишь сказали, что «мальчику не годится вводить новшества в предметы, которыми он ещё недостаточно занимался».

В школьные годы Лейбниц успел прочесть всё более или менее выдающееся, что было в то время в области схоластической логики. В 1661 году, в возрасте четырнадцати лет, Готфрид сам поступил в тот же Лейпцигский университет, где когда-то работал его отец. По уровню подготовки Лейбниц значительно превосходил многих студентов старшего возраста.

Спустя два года Лейбниц перешёл в Йенский университет, где изучал математику. Лейбниц слушал в Йене лекции математика Вейгеля, а также лекции некоторых юристов и историка Бозиуса, который пригласил его на собрания учебного общества, состоявшего из профессоров и студентов и называвшегося «коллегия пытливых».

В 1663 году Лейбниц опубликовал свой первый трактат «О принципе индивидуации», в котором защищал номиналистическое учение о реальности индивидуального, и получил степень бакалавра, а в 1664 году — степень магистра философии. Затем Лейбниц изучал в Лейпциге право и защитил диссертацию на соискание степени доктора права.

В 1666 году Готфрид Вильгельм Лейбниц написал одно из своих многочисленных сочинений — «Об искусстве комбинаторики». Опередив время на два века, 21-летний Лейбниц задумал проект математизации логики. Будущую теорию (которую он так и не завершил) он называет «всеобщая характеристика». Она включала все логические операции, свойства которых он ясно представлял. Идеалом для Лейбница было создание такого языка науки, который позволил бы заменить содержательные рассуждения исчислением на основе арифметики и алгебры: «… с помощью таких средств можно достичь… удивительного искусства в открытиях и найти анализ, который в других областях даст нечто подобное тому, что алгебра дала в области чисел».

В 1700 году Лейбниц основал Берлинскую Академию наук и стал её первым президентом. Тогда же его избрали иностранным членом Французской Академии наук.

Последние годы жизни Лейбница прошли печально и беспокойно. Сын Эрнста-Августа, Георг-Людвиг, наследовавший отцу в 1698 году, не любил Лейбница. Он смотрел на него только как на своего придворного историографа, стоившего ему много лишних денег.

До 50-летнего возраста Лейбниц редко боле. От сидячего образа жизни и неправильного питания у него к этому времени развилась подагра. Медицину он уважал в принципе, но тогдашнее врачебное искусство ценил низко; в одном из писем он после прочтения книжки врача Беренса «О достоверности и трудности врачебного искусства» сказал: «Дай Бог, чтобы достоверность была так же велика, как и трудность».

В 1716 году он простудился, у него был приступ подагры и ревматические боли в плечах; прибывший врач счёл положение настолько опасным, что сам отправился в аптеку за лекарством, но во время его отсутствия Готфрид Вильгельм умер.

Научные достижения:

• Он заложил основы математической логики
• Лейбниц создал комбинаторику как науку
• Открыл «основную теорему анализа»
• Лейбниц, независимо от Ньютона, создал математический анализ — дифференциальное и интегральное исчисления основанные на бесконечно малых
• Описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1
• В механике ввёл понятие «живой силы» (прообраз современного понятия кинетической энергии) и сформулировал закон сохранения энергии
• В механике ввёл понятие «живой силы» (прообраз современного понятия кинетической энергии) и сформулировал закон сохранения энергии. В психологии выдвинул понятие бессознательно «малых перцепций» и развил учение о бессознательной психической жизни
• Закон достаточного основания
• Закон тождества
• Сформулировал один из важнейших вариационных принципов физики — «принцип наименьшего действия»
• Высказал мысль об эволюции Земли